Этот онлайн-калькулятор позволяет найти угол по известному значению тригонометрической функции — вычислить арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctan, arctg), арккотангенс (arccot, arcctg), а также арксеканс (arcsec) и арккосеканс (arccsc). Введите значение функции в форму ниже, выберите, в какой единице измерения нужно получить результат — градусах или радианах, — и калькулятор сразу покажет угол.
Обратные тригонометрические функции часто применяются в геометрии, физике и инженерных расчетах, когда известны соотношения сторон треугольника и нужно найти сам угол. Если, наоборот, требуется вычислить значение функции по известному углу, воспользуйтесь тригонометрическим калькулятором.
Калькулятор
Как пользоваться калькулятором
- Введите значение тригонометрической функции в поле ввода.
- Выберите, какую обратную функцию нужно вычислить — arcsin, arccos, arctan (arctg), arccot (arcctg), а также arcsec или arccsc.
- Выберите единицу измерения результата — градусы или радианы.
- Нажмите кнопку «Рассчитать» — калькулятор покажет значение угла.
Что такое обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции (аркфункции) выполняют действие, противоположное обычным тригонометрическим функциям: если sin(α) = x, то arcsin(x) = α. Они позволяют найти угол, зная значение синуса, косинуса, тангенса или котангенса этого угла.
- arcsin(x) — угол, синус которого равен x
- arccos(x) — угол, косинус которого равен x
- arctan(x) (arctg) — угол, тангенс которого равен x
- arccot(x) (arcctg) — угол, котангенс которого равен x
Область определения и область значений аркфункций
Поскольку синус и косинус угла всегда находятся в пределах от -1 до 1, обратные к ним функции — arcsin и arccos — определены только для аргументов от -1 до 1. Попытка вычислить, например, arcsin(2), не имеет решения в действительных числах.
| Функция | Область определения (x) | Область значений (угол) |
|---|---|---|
| arcsin(x) | от -1 до 1 | от -90° до 90° (от -π/2 до π/2) |
| arccos(x) | от -1 до 1 | от 0° до 180° (от 0 до π) |
| arctg(x) [arctan(x)] | любое действительное число | от -90° до 90° (от -π/2 до π/2), не включая границы |
| arcctg(x) [arccot(x)] | любое действительное число | от 0° до 180° (от 0 до π), не включая границы |
Это объясняет, почему у каждой аркфункции результат всегда попадает в один и тот же диапазон углов (так называемый главный диапазон значений), даже если искомый угол в реальной задаче лежит вне этого диапазона — в таком случае к результату нужно применять дополнительные формулы приведения.
Полезные формулы и свойства
- arcsin(x) + arccos(x) = 90° (π/2) — для любого x из промежутка [-1; 1]
- arctan(x) + arccot(x) = 90° (π/2) [arctg(x) + arcctg(x) = 90°] — для любого действительного x
- arcsin(-x) = -arcsin(x) — нечетная функция
- arccos(-x) = 180° - arccos(x)
- arctan(-x) = -arctan(x) [arctg(-x) = -arctg(x)] — нечетная функция
Таблица значений обратного тригонометрического калькулятора для основных аргументов
| x | arcsin(x) | arccos(x) | arctg(x) [arctan] | arcctg(x) [arccot] |
|---|---|---|---|---|
| -1 | -90° | 180° | -45° | 135° |
| -√3/2 | -60° | 150° | -60° | 150° |
| -√2/2 | -45° | 135° | -35,26° | 125,26° |
| -1/2 | -30° | 120° | -26,57° | 116,57° |
| 0 | 0° | 90° | 0° | 90° |
| 1/2 | 30° | 60° | 26,57° | 63,43° |
| √2/2 | 45° | 45° | 35,26° | 54,74° |
| √3/2 | 60° | 30° | 60° | 30° |
| 1 | 90° | 0° | 45° | 45° |
Значения для arctan (arctg) и arccot (arcctg) приведены для x = ±1, ±√3/2, ±√2/2, ±1/2 и округлены до сотых.
Примеры расчета
Пример 1. Вычисление arcsin
Дано x = 0,5.
arcsin(0,5) = 30°
Пример 2. Вычисление arccos для отрицательного значения
Дано x = -0,5.
arccos(-0,5) = 120°
Обратите внимание: результат arccos для отрицательного аргумента всегда больше 90°, так как область значений arccos — от 0° до 180°.
Пример 3. Вычисление arctan (arctg)
Дано x = 1.
arctan(1) [arctg(1)] = 45°
Пример 4. Проверка свойства arcsin(x) + arccos(x) = 90°
Дано x = 0,5.
arcsin(0,5) + arccos(0,5) = 30° + 60° = 90° ✓
Часто задаваемые вопросы
Почему нельзя вычислить arcsin(2)?
Потому что синус угла всегда лежит в пределах от -1 до 1, а следовательно, и арксинус определен только для аргументов из этого промежутка. Число 2 выходит за эти пределы, поэтому решения в действительных числах нет.
В каком диапазоне лежит результат arccos?
Результат arccos всегда находится в пределах от 0° до 180° (от 0 до π радиан), независимо от знака входного значения.
Чем arctan отличается от arccot?
Обе функции связаны равенством arctan(x) + arccot(x) = 90° [arctg(x) + arcctg(x) = 90°]. Область значений arctan (arctg) — от -90° до 90°, а arccot (arcctg) — от 0° до 180°. Обе определены для любого действительного числа.
Как найти все углы, а не только главное значение?
Обратная тригонометрическая функция возвращает только один угол из главного диапазона значений. Если нужно найти все углы, удовлетворяющие уравнению (например, sin(x) = 0,5 на промежутке от 0° до 360°), к главному значению нужно добавить соответствующий период и учесть симметрию функции.
Как вычислить значение тригонометрической функции по известному углу?
Для этого используется прямая тригонометрическая функция — sin, cos, tg или ctg. Вы можете вычислить тригонометрические функции по углу на нашем сайте.