Цей онлайн калькулятор дозволяє знайти кут за відомим значенням тригонометричної функції — обчислити арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctan, arctg), арккотангенс (arccot, arcctg), а також арксеканс (arcsec) і арккосеканс (arccsc). Введіть значення функції у форму нижче, оберіть, у якій одиниці виміру потрібно отримати результат — градусах чи радіанах, — і калькулятор одразу покаже кут.
Обернені тригонометричні функції часто застосовуються в геометрії, фізиці та інженерних розрахунках, коли відомі співвідношення сторін трикутника і потрібно знайти сам кут. Якщо, навпаки, потрібно обчислити значення функції за відомим кутом, скористайтеся тригонометричним калькулятором.
Калькулятор
Як користуватись калькулятором
- Введіть значення тригонометричної функції в поле вводу.
- Оберіть, яку обернену функцію потрібно обчислити — arcsin, arccos, arctan (arctg), arccot (arcctg), а також arcsec або arccsc.
- Оберіть одиницю виміру результату — градуси або радіани.
- Натисніть кнопку «Розрахувати» — калькулятор покаже значення кута.
Що таке обернені тригонометричні функції
Обернені тригонометричні функції (аркфункції) виконують дію, протилежну до звичайних тригонометричних функцій: якщо sin(α) = x, то arcsin(x) = α. Вони дозволяють знайти кут, знаючи значення синуса, косинуса, тангенса чи котангенса цього кута.
- arcsin(x) — кут, синус якого дорівнює x
- arccos(x) — кут, косинус якого дорівнює x
- arctan(x) (arctg) — кут, тангенс якого дорівнює x
- arccot(x) (arcctg) — кут, котангенс якого дорівнює x
Область визначення та область значень аркфункцій
Оскільки синус і косинус кута завжди перебувають у межах від -1 до 1, обернені до них функції — arcsin і arccos — визначені тільки для аргументів від -1 до 1. Спроба обчислити, наприклад, arcsin(2), не має розв'язку в дійсних числах.
| Функція | Область визначення (x) | Область значень (кут) |
|---|---|---|
| arcsin(x) | від -1 до 1 | від -90° до 90° (від -π/2 до π/2) |
| arccos(x) | від -1 до 1 | від 0° до 180° (від 0 до π) |
| arctg(x) [arctan(x)] | будь-яке дійсне число | від -90° до 90° (від -π/2 до π/2), не включаючи межі |
| arcctg(x) [arccot(x)] | будь-яке дійсне число | від 0° до 180° (від 0 до π), не включаючи межі |
Це пояснює, чому в кожної аркфункції результат завжди потрапляє в один і той самий діапазон кутів (так званий головний діапазон значень), навіть якщо шуканий кут у реальній задачі лежить поза цим діапазоном — у такому разі до результату потрібно застосовувати додаткові формули приведення.
Корисні формули та властивості
- arcsin(x) + arccos(x) = 90° (π/2) — для будь-якого x з проміжку [-1; 1]
- arctan(x) + arccot(x) = 90° (π/2) [arctg(x) + arcctg(x) = 90°] — для будь-якого дійсного x
- arcsin(-x) = -arcsin(x) — непарна функція
- arccos(-x) = 180° - arccos(x)
- arctan(-x) = -arctan(x) [arctg(-x) = -arctg(x)] — непарна функція
Таблиця значень оберненого тригонометричного калькулятора для основних аргументів
| x | arcsin(x) | arccos(x) | arctg(x) [arctan] | arcctg(x) [arccot] |
|---|---|---|---|---|
| -1 | -90° | 180° | -45° | 135° |
| -√3/2 | -60° | 150° | -60° | 150° |
| -√2/2 | -45° | 135° | -35,26° | 125,26° |
| -1/2 | -30° | 120° | -26,57° | 116,57° |
| 0 | 0° | 90° | 0° | 90° |
| 1/2 | 30° | 60° | 26,57° | 63,43° |
| √2/2 | 45° | 45° | 35,26° | 54,74° |
| √3/2 | 60° | 30° | 60° | 30° |
| 1 | 90° | 0° | 45° | 45° |
Значення для arctan (arctg) і arccot (arcctg) наведені для x = ±1, ±√3/2, ±√2/2, ±1/2 і округлені до сотих.
Приклади розрахунку
Приклад 1. Обчислення arcsin
Дано x = 0,5.
arcsin(0,5) = 30°
Приклад 2. Обчислення arccos для від'ємного значення
Дано x = -0,5.
arccos(-0,5) = 120°
Зверніть увагу: результат arccos для від'ємного аргументу завжди більший за 90°, оскільки область значень arccos — від 0° до 180°.
Приклад 3. Обчислення arctan (arctg)
Дано x = 1.
arctan(1) [arctg(1)] = 45°
Приклад 4. Перевірка властивості arcsin(x) + arccos(x) = 90°
Дано x = 0,5.
arcsin(0,5) + arccos(0,5) = 30° + 60° = 90° ✓
Часті запитання
Чому не можна обчислити arcsin(2)?
Тому що синус кута завжди лежить у межах від -1 до 1, а отже, і арксинус визначений лише для аргументів з цього проміжку. Число 2 виходить за ці межі, тому розв'язку в дійсних числах немає.
У якому діапазоні лежить результат arccos?
Результат arccos завжди перебуває в межах від 0° до 180° (від 0 до π радіан), незалежно від знаку вхідного значення.
Чим arctan відрізняється від arccot?
Обидві функції пов'язані рівністю arctan(x) + arccot(x) = 90° [arctg(x) + arcctg(x) = 90°]. Область значень arctan (arctg) — від -90° до 90°, а arccot (arcctg) — від 0° до 180°. Обидві визначені для будь-якого дійсного числа.
Як знайти всі кути, а не тільки головне значення?
Обернена тригонометрична функція повертає лише один кут з головного діапазону значень. Якщо потрібно знайти всі кути, що задовольняють рівняння (наприклад, sin(x) = 0,5 на проміжку від 0° до 360°), до головного значення потрібно додати відповідний період і врахувати симетрію функції.
Як обчислити значення тригонометричної функції за відомим кутом?
Для цього використовується пряма тригонометрична функція — sin, cos, tg або ctg. Ви можете обчислити тригонометричні функції за кутом на нашому сайті.