Калькулятор пропорцій

Що таке пропорція і як її розв'язати

Пропорція — це рівність двох відношень. Математично це записується як:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

або

$$a:b=c:d$$

Числа a і d називаються крайніми членами пропорції, а числа b і c — середніми членами.

Основна властивість пропорції (правило хрест-нахрест)

Головне математичне правило пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх.

$$a·d=b·c$$

Це правило дозволяє як перевіряти правильність пропорції, так і легко знаходити будь-який її невідомий член, якщо відомі інші три.

Як знайти невідомий член пропорції

Щоб знайти невідоме число (наприклад, x), перемножте два відомих числа, які стоять по діагоналі (хрест-нахрест одне від одного), і поділіть результат на третє відоме число.

• Якщо невідомий крайній член a: $$a=\frac{b·c}{d}$$
• Якщо невідомий середній член b: $$b=\frac{a·d}{c}$$
• Якщо невідомий середній член c: $$c=\frac{a·d}{b}$$
• Якщо невідомий крайній член d: $$d=\frac{b·c}{a}$$

Приклади розв'язання

Приклад 1 (пошук невідомого): Знайдемо x у пропорції:

$$\frac{4}{8}=\frac{5}{x}$$

Тут невідомим є d (крайній член). Застосовуємо правило: перемножуємо середні члени (8 і 5) та ділимо на відомий крайній (4):

$$x=\frac{8·5}{4}=\frac{40}{4}=10$$

Приклад 2 (перевірка пропорції): Перевіримо, чи є пропорція правильною:

$$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$$

Перемножуємо хрест-нахрест:

$$2·12=24$$

та

$$3·8=24$$

Оскільки добутки рівні (24 = 24), дана пропорція є правильною.

Де застосовується пропорція

• Розрахунок відсотків. Будь-яку задачу на відсотки можна записати як пропорцію. Наприклад, якщо 150 грамів — це 100%, то 30 грамів — це x%: $$\frac{150}{100}=\frac{30}{x}\Rightarrow x=20\%$$
• Кулінарія (масштабування рецептів). Якщо рецепт пирога розрахований на 500г борошна та 4 яйця, а у вас є тільки 300г борошна, кількість яєць обчислюється через пропорцію: $$\frac{500}{4}=\frac{300}{x}\Rightarrow x=2.4$$ (приблизно 2-3 яйця).
• Масштаб на картах та кресленнях. Масштаб 1:100 000 означає, що 1 см на карті відповідає 100 000 см (1 км) на місцевості. Якщо відстань на карті 5.5 см, реальна відстань знаходиться через пропорцію: $$\frac{1}{100000}=\frac{5.5}{x}\Rightarrow x=550000\text{ см = 5.5 км}$$
• Хімія та фармакологія. Дозування ліків розраховують пропорційно до ваги пацієнта. Якщо на 10 кг ваги призначено 2 мл препарату, для пацієнта вагою 25 кг потрібно: $$\frac{10}{2}=\frac{25}{x}\Rightarrow x=5\text{ мл}$$

Часті запитання про пропорції (FAQ)

Чи може пропорція мати два невідомих члени?

Ні. Щоб знайти невідомий член за правилом хрест-нахрест, потрібно знати щонайменше три з чотирьох членів пропорції. Якщо невідомих два, пропорції недостатньо — потрібне ще одне рівняння або додаткова умова.

Чим пропорція відрізняється від простого відношення?

Відношення — це порівняння двох чисел (наприклад, a : b), а пропорція — це рівність двох таких відношень (a : b = c : d). Іншими словами, пропорція завжди складається з двох відношень, з'єднаних знаком рівності.

Що робити, якщо після обчислення невідомий член вийшов не цілим числом?

Це нормальний результат — пропорції не зобов'язані давати цілі відповіді. Наприклад, у прикладі з рецептом кількість яєць вийшла 2.4 — у такому разі відповідь округлюють до зручного практичного значення (2 або 3 яйця) залежно від контексту задачі.

Чи можна складати пропорцію з від'ємними числами?

Так, правило хрест-нахрест працює і для від'ємних чисел так само, як для додатних — важливо лише зберігати правильні знаки під час множення та ділення.